Su una bozza di metodo di soluzione di equazioni differenziali

Un po' di anni fa, quando andavo ancora all'università ho buttato giù alcune considerazioni relativamente ai metodi di soluzione delle equazioni differenziali, finendo con il proporre un metodo di soluzione "un po' particolare".

Non ci si aspetti chissà quale formalismo tenendo conto che, da allora, non ho più portato avanti la cosa. La propongo nell'allegato a seguire, scritto a penna su carta da quattro soldi e scannerizzato (spero che la grafia sia comprensibile). Riporto di seguito solo la premessa, in cui le parti in grassetto sono i commenti che "ho fatto adesso al giovane Danilo di allora" ; chi è interessato può leggersi il resto per conto suo. Mal che vada, vi fate due risate !

 

Premessa:

Nel seguito proporremo un metodo che permette la risoluzione (almeno in linea di principio) di un gran numero (sarebbe forse stupido ed esagerato dire "tutte" P.S. ero allora giovane ed inesperto...) di equazioni differenziali di qualsiasi ordine e tipo (magari ! allora ero molto illuso...). Come si capirà meglio nel seguito, il metodo stesso non permette uno sviluppo matematico troppo formale; in altri termini, si possono solo indicare le vie generali su cui tale metodo si basa, ma non si arriva a dedurre ferree formule, applicando le quali si arriva alla soluzione della equazione differenziale cercata (ero in quel periodo alla ricerca della "formula-magica-che-risolve-tutti-i-problemi-(e-le-equazioni)"). Non ci si attenda quindi troppa rigorosità matematica. Questo fatto però permette di rendere il metodo assai generale; inoltre si vedrà pure come tale metodo, per essere correttamente applicato, occorra di uno studio di particolari tipi di operatori, che ho chiamato "operatori di limite", che altro non sono che "derivate generalizzate" e dei loro operatori inversi, che ho chiamato (con molta fantasia) "integrali generalizzati". Ora tale studio non si basa su regole precise, ma sulla "fantasia" ed abilità di chi lo applica; ciò fa si che non è detto che "tutti" gli operatori di limite siano analizzabili.

Ricordo al lettore che, allo stadio in cui mi trovo a studiare tale metodo, posso solo fornire delle indicazioni sulle linee generali su cui tale metodo si basa, sperando di poterlo approfondire in futuro (cosa che poi non ho fatto...gli esami incalzavano...) nel caso in cui tali linee generali fossero corrette (da verificare).

Se tale metodo fosse poi corretto ed applicabile in linea generale, potrebbe poi venire esteso, in modi che non starò qui a dire poichè prematuro a questo livello di studio, a sistemi di equazioni differenziali alle derivate totali e FORSE anche ai sistemi alle derivate parziali.

 

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