Su una bozza di metodo di soluzione di equazioni differenziali

Un po' di anni fa, quando andavo ancora all'università ho buttato giù alcune considerazioni relativamente ai metodi di soluzione delle equazioni differenziali, finendo con il proporre un metodo di soluzione "un po' particolare".

Non ci si aspetti chissà quale formalismo tenendo conto che, da allora, non ho più portato avanti la cosa. La propongo nell'allegato a seguire, scritto a penna su carta da quattro soldi e scannerizzato (spero che la grafia sia comprensibile). Riporto di seguito solo la premessa, in cui le parti in grassetto sono i commenti che "ho fatto adesso al giovane Danilo di allora" ; chi è interessato può leggersi il resto per conto suo. Mal che vada, vi fate due risate !

 

Premessa:

Nel seguito proporremo un metodo che permette la risoluzione (almeno in linea di principio) di un gran numero (sarebbe forse stupido ed esagerato dire "tutte" P.S. ero allora giovane ed inesperto...) di equazioni differenziali di qualsiasi ordine e tipo (magari ! allora ero molto illuso...). Come si capirà meglio nel seguito, il metodo stesso non permette uno sviluppo matematico troppo formale; in altri termini, si possono solo indicare le vie generali su cui tale metodo si basa, ma non si arriva a dedurre ferree formule, applicando le quali si arriva alla soluzione della equazione differenziale cercata (ero in quel periodo alla ricerca della "formula-magica-che-risolve-tutti-i-problemi-(e-le-equazioni)"). Non ci si attenda quindi troppa rigorosità matematica. Questo fatto però permette di rendere il metodo assai generale; inoltre si vedrà pure come tale metodo, per essere correttamente applicato, occorra di uno studio di particolari tipi di operatori, che ho chiamato "operatori di limite", che altro non sono che "derivate generalizzate" e dei loro operatori inversi, che ho chiamato (con molta fantasia) "integrali generalizzati". Ora tale studio non si basa su regole precise, ma sulla "fantasia" ed abilità di chi lo applica; ciò fa si che non è detto che "tutti" gli operatori di limite siano analizzabili.

Ricordo al lettore che, allo stadio in cui mi trovo a studiare tale metodo, posso solo fornire delle indicazioni sulle linee generali su cui tale metodo si basa, sperando di poterlo approfondire in futuro (cosa che poi non ho fatto...gli esami incalzavano...) nel caso in cui tali linee generali fossero corrette (da verificare).

Se tale metodo fosse poi corretto ed applicabile in linea generale, potrebbe poi venire esteso, in modi che non starò qui a dire poichè prematuro a questo livello di studio, a sistemi di equazioni differenziali alle derivate totali e FORSE anche ai sistemi alle derivate parziali.

 

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Test Management in Excel

Nella fase di preparazione e successiva esecuzione del software test, è indispensabile dotarsi di uno strumento che permetta principalmente di tenere traccia dei:

  1. Requisiti da testare
  2. Test associati ai requisiti
  3. Anomalie rilevate nell’esecuzione dei test.

In particolare, risulta molto utile conoscere le seguenti matrici di copertura:

  1. Matrice di copertura Requisiti – Test Cases: mostra per ciascun requisito di test i relativi test case associati.
  2. Matrice di copertura Test Case – Anomalie: mostra per ciascun Test Case le anomalie associate.
  3. Matrice di copertura Requisiti – Anomalie: mostra per ciascun requisito le anomalie ad esso relative.

Se esistono dei requisiti non coperti, la matrice di copertura Requisiti-Test Cases, indica, per differenza, i requisiti non coperti. La matrice di copertura Requisiti-Anomalie evidenzia invece quali sono i requisiti a cui corrispondono Test Cases che hanno generato anomalie, mostrando quindi quali sono i “punti deboli” dell’applicazione sotto test.

In aggiunta, una vista tabellare dei Requisiti, dei Test Cases e delle Anomalie e senz’altro fondamentale.
Esistono molti prodotti in commercio utili a tale (e altro) scopo; sovente non è però il caso di ricorrere a Tools elaborati di Test Management, essendo sufficiente un semplice file Excel.
In calce al presente articolo, potete scaricarvi un Excel che fa quanto sopra esposto, con un minimo di VBA e qualche tabella pivot; ricordatevi di aggiornare le pivot ogni qual volta che dovete analizzare i dati aggiornati (selezionare una qualunque cella della tabella, click con il destro e selezionare “Refresh”/”Aggiorna” dal menù contestuale).

Nelle formule del file Excel sono considerate un massimo di 5000 righe (o giù di li...); se dovete gestire, per ogni test set, un numero maggiore di Requisiti, Test Cases e/o Anomalie…. cercatevi qualche Tool di Test Management più strutturato !

Piccolo suggerimento: se volete inserire nelle celle di un file Excel un campo data selezionando la data da calendarietto associato al testo destro di menù, leggetevi http://www.fontstuff.com/vba/vbatut07.htm  e scaricatevi l'Excel 2007/2010 Pop-up Calendar Add Ins. E' molto comodo quando si ha a che fare con tante date!

Buon divertimento !

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Equazioni delle curve di Lissajous

Nell’articolo che segue, ho ricavato l’espressione formale matematica che descrive le figure di Lissajous, utilizzando i polinomi di Polinomi di Cebyšëv (di prima e di seconda specie).

Le figure piane di Lissajous sono delle curve bidimensionali ottenute dalla composizione di due moti armonici aventi due distinte frequenze di oscillazione su due assi cartesiani ortogonali. Ad esempio, il vettore risultante dalla somma vettoriale di due campi elettrici ortogonali  oscillanti con differenti frequenze sui due assi produce una curva che è appunto una figura di Lissajous.

Nella prima parte dell’articolo (paragrafi dal #1 al #5) si effettuano i calcoli che portano all’equazione generale delle figure piane di Lissajous; nella seconda parte (paragrafi dal #6 al #8) si danno alcune proprietà delle equazioni ricavate. Questa seconda parte è la più complessa e potrebbe essere riscritta con maggior chiarezza; si accettano collaborazioni e/o critiche e/o suggerimenti.

In Appendice viene proposta una possibile classe di soluzioni delle equazioni polinomiali di ordine elevato in cui compaiono i polinomi di Cebyšëv. Il documento è stato scritto in LaTeX, è leggibile online e/o scaricabile in calce e l’indice è il seguente:

  • Introduzione
  • Sistema oscillante canonico
  • Soluzione del sistema canonico per ω12
    • Casi particolari
  • Soluzione del sistema canonico per ω1 2 = n con n intero
    • Casi particolari
  • Soluzione del sistema canonico per ω1 2 = n/m con n e m  interi
    • Casi particolari
  • Proprietà di continuità delle funzioni yk
  • Cenno al caso in cui ω1 è irrazionale
  • Definizione e proprietà della pseudo-funzione di Lissajous
  • Appendice - Classi di soluzione dell'equazione TN(cos(θ/m)) = cos(θ)

E' anche possibile scaricare il codice LaTeX dell'articolo.

Nota di licenza:

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