Elementi di Statistica e Calcolo delle Probabilità

Nel 1990, o giù di li, quando studiavo Fisica all'università di Torino, tra i corsi di studio ve ne era uno che trattava Statistica e Calcolo delle probabilità. In quei tempi, non avevamo uno specifico libro di testo e utilizzavamo solo gli appunti che prendevamo durante la lezione e, per quello che non si riusciva a capire, ognuno si aggiustava andando a leggere e studiare libri presi in prestito nella biblioteca. Quanto segue è un "libro" di 180 pagine che ho scritto man mano che seguivo il corso e che tratta dei principali argomenti relativi alla statistica ed al calcolo delle probabilità. L'indice degli argomenti è riportato di seguito; ho scritto questi appunti usando la macchina da scrivere (la mitica olivetti lettera 18) e scrivendo parzialmente a mano le formule. 

E' disponibile una preview del primo capitolo ed è possibile scaricare il libro completo oppure i singoli capitoli in calce al presente articolo

 

 Indice completo degli argomenti.

CAPITOLO I - Elementi di calcolo delle probabilità
    - Nozioni introduttive                               
    - Nomenclatura                                   
    - Formula classica della probabilità totale                   
    - Frequenza relativa o probabilità statistica di un evento
    - Definizione di somma e prodotto di due o più eventi
    - Proprietà fondamentali della probabilità
    - Teoremi fondamentali della teroria della probabilità
        * Teorema della probabilità totale
        * Teorema delle probabilità composte
        * Formula della probabilità totale
        * Teorema delle ipotesi (formula di Bayes)
CAPITOLO II - Legge di ripartizione di una variabile aleatoria
    - Legge di ripartizione di una variabile aleatoria
    - Proprietà fondamentali della funzione di distribuzione
    - Probabilità per una variabile aleatoria di cadere in un dato intervallo
    - Funzione densità di probabilità
    - Proprietà essenziali della funzione densità di probabilità
CAPITOLO III - Parametri numerici che caratterizzano una variabile aleatoria
    - Il valor medio e la speranza matematica   
    - Momenti di una variabile aleatoria   
    - Altri parametri strutturali di una distribuzione    
CAPITOLO IV - Leggi di ripartizione
    - Funzioni di distribuzione    
        * Funzione di distribuzione binomiale o di Bernoulli   
        * Distribuzione multinomiale   
        * Distribuzione geometrica   
        * Distribuzione ipergeometrica   
        * Distribuzione  di Poisson
            ** Soluzione delle equazioni differenziali relative alla distribuzione di Poisson   
            ** Deduzione della distribuzione di Poisson a partire dalla distribuzione di Bernoulli   
        * Distribuzione gamma   
        * Funzione di distribuzione normale o gaussiana   
        * Distribuzione binomiale negativa
        * Distribuzione Lorenziana o di Cauchy   
CAPITOLO V - Composizioni di variabili aleatorie. Cenni sui sistemi di due variabili aleatorie
    - Composizione di variabili aleatorie    
    - La funzione caratteristica   
        * Proprietà fondamentali della funzione caratteristica        
        * Relazione tra la funzione caratteristica ed i momenti αr   
        * Calcolo della funzione caratteristica delle leggi di ripartizione descritte nel cap. 4    
    - Calcolo della asimmetria della distribuzione di Poisson    
    - Soluzione del problema (i)   
    - Sistemi di variabile aleatoria   
        * Funzione di ripartizione di un sistema di variabili aleatorie       
        * Funzione densità di probabilità di un sitema di due variabili aleatorie   
        * Legge di ripartizione delle variabili di un sistema. Legge di ripartizione condizionata   
        * Caratteristiche numeriche dei sistemi di due variabili aleatorie. Covarianza e coefficiente di correlazione
        * Formula di correlazione per una relazione lineare tra le variabili del tipo: y = ax + b   
    - Soluzione del problema (ii)   
    - Soluzione del problema (iii) mediante la funzione caratteristica  
    - Composizione di leggi di ripartizione di maggior rilevanza   
        - Legge di ripartizione della variabile y = x2, essendo x distribuita normalmente  
        - Legge di ripartizione della variabile y = x1 + x2, dove x1 e x2 sono ripartite normalmente
        - Legge di ripartizione della variabile y = x1 + x2, dove x1 e x2 seguono un distribuzione gamma
        - Funzione di distribuzione della variabile (1/n)*Σxi , dove le xi seguono una distribuzione normale con parametri (μi , σi)
CAPITOLO VI - Teoremi limite della teoria delle probabilità
    - Legge dei grandi numeri e teorema centrale limite   
    - Ineguaglianza di Tchébychev   
    - Legge dei grandi numeri. Teorema di Tchébychev
        * Teorema di Tchébychev generalizzato. Teorema di Markov   
            ** Teorema di Markov   
        * Conseguenze della legge dei grandi numeri: teorema di Bernoulli e di Poisson
    - Il teorema centrale limite   
    - Teorema centrale limite per variabili aleatorie che seguono la stessa legge di ripartizione
CAPITOLO VII - Trattamento dei dati sperimentali
    - Nozioni introduttive
    - I vari tipi di errore   
    - Stima della speranza matematica e della varianza   
    - Caso in cui le variabili aleatorie seguono una legge di ripartizione normale. Formule pratiche esprimenti il teorema centrale limite
    - Propagazione degli errori    
    - Il calcolo delle curve sperimentali. Il metodo dei minimi quadrati e "best fit" polinomiale    
CAPITOLO VIII - I criteri di conformità o "tests" statistici
    - Introduzione
    - Le variabili dei tests
        * La variabile casuale chi quadro    
        * La variabile casuale w       
        * La variabile casuale r       
        * La variabile casuale t di Student   
        * La variabile casuale F di Fisher   
    - I tests statistici
        * Il test che utilizza la variabile casuale chi quadro per verificare la bontà di un fit
        * Il test che utilizza la variabile casuale chi quadro per verificare l'omogeneità di s provini    
        * Il test che utilizza la variabile casuale chi quadro come controllo della dipendenza o indipendenza di due variabili
        * Il test che utilizza la variabile casuale distribuita normalmente   
        * Il test normale utilizzato per la verifica dell'associazione o della indipendenza di due grandezze aleatorie    
        * Distribuzione di <x> ed s2 in una popolazione normale   
    - Costruzione di variabili utilizzate nei tests       
    - I test statistici. Proseguimento
        * Il test che utilizza la variabile t, per verificare se <x> è una stima esatta della media μ
        * Il test che utilizza la variabile t, utilizzato per valutare la differenza dei valori medi di due provini indipendenti della stessa popolazione   
        * Il test che utilizza la variabile F di Fisher       
APPENDICI
    - Appendice I
        * Integrali euleriani
        * Proprietà della funzione gamma
        * Proprietà della funzione beta
    - Appendice II
        * Soluzione dettagliata dell'integrale di Gauss (normale)
        * Calcolo dell'integrale dei momenti di ordine t della distribuzione gaussiana
        * Binomiale negativo
        * Nozioni generali sulle matrici e sui sistemi di Cramer
    - Appendice III
        * Un curioso metodo per dedurre la distribuzione di Gauss

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