Equazioni delle curve di Lissajous

Nell’articolo che segue, ho ricavato l’espressione formale matematica che descrive le figure di Lissajous, utilizzando i polinomi di Polinomi di Cebyšëv (di prima e di seconda specie).

Le figure piane di Lissajous sono delle curve bidimensionali ottenute dalla composizione di due moti armonici aventi due distinte frequenze di oscillazione su due assi cartesiani ortogonali. Ad esempio, il vettore risultante dalla somma vettoriale di due campi elettrici ortogonali  oscillanti con differenti frequenze sui due assi produce una curva che è appunto una figura di Lissajous.

Nella prima parte dell’articolo (paragrafi dal #1 al #5) si effettuano i calcoli che portano all’equazione generale delle figure piane di Lissajous; nella seconda parte (paragrafi dal #6 al #8) si danno alcune proprietà delle equazioni ricavate. Questa seconda parte è la più complessa e potrebbe essere riscritta con maggior chiarezza; si accettano collaborazioni e/o critiche e/o suggerimenti.

In Appendice viene proposta una possibile classe di soluzioni delle equazioni polinomiali di ordine elevato in cui compaiono i polinomi di Cebyšëv. Il documento è stato scritto in LaTeX, è leggibile online e/o scaricabile in calce e l’indice è il seguente:

  • Introduzione
  • Sistema oscillante canonico
  • Soluzione del sistema canonico per ω12
    • Casi particolari
  • Soluzione del sistema canonico per ω1 2 = n con n intero
    • Casi particolari
  • Soluzione del sistema canonico per ω1 2 = n/m con n e m  interi
    • Casi particolari
  • Proprietà di continuità delle funzioni yk
  • Cenno al caso in cui ω1 è irrazionale
  • Definizione e proprietà della pseudo-funzione di Lissajous
  • Appendice - Classi di soluzione dell'equazione TN(cos(θ/m)) = cos(θ)

E' anche possibile scaricare il codice LaTeX dell'articolo.

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